基于matlab编程的“生日悖论”仿真模拟实验

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摘要

本文针对概率论老师提出的“生日悖论[1]”问题进行研究，通过matlab编程实现仿真，并将最终结果以图片形式表示出来。

关键词：
仿真 古典概型 生日悖论 matlab tabulate函数 函数化

一、问题重述

老师要求我们以“生日悖论”为题，在10人、30人、60人、90人的情况下随机输入每个人的生日y，输出图表，图表内容包括：
1、横坐标为迭代次数x（x∈[1,200]）；
2、纵坐标为日期y(y∈[1,365])；
3、黑色叉号(x)表示不重复日期；
4、红色叉号(red X)表示重复日期;
5、标题包括本次迭代中仿真人数（/人）和至少有两人生日重复频率（P）。

二、问题分析

针对此问题，使用matlab编程，将1~365的随机数分别表示为10、30、60、90的向量，针对向量排序并统计重复数，将≥2的日期表示出来，并以向量表示，利用函数建立坐标，将每一次仿真的图像以黑色与红色叉号的形式表示在图上，重复200次，完成图像；同时，统计红色叉号与黑色叉号的数量，得出P；利用函数化主程序进行分块，得出结论。

三、编程

首先解决随机化问题，这里使用了常见的随机数函数 
1
round(rand(1,h)*365);
利用plot打印黑叉。 之后，利用tabulate()函数统计出向量各值的重复情况，这里以一次模拟为例： 
1
2
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...       ...      
353        0      
354        0      
355        2      
356        0      
357        0     
358        0     
359        3    
360        0    
361        0     
362        0      
363        0    
364        1
取第二列大于等于2所对应的日期，标记为另一个向量，并打印，标记为红叉； 迭代200次，分块，得到最终图像，效果如下：

upload successful

可以看见，当人数大于30时，发生生日重复的概率已经超过70%，这与直觉相悖，故称“生日悖论”。

四、总结

本文针对生日悖论的实际情况进行仿真，得出以上图像，从而直观上证明了生日悖论的反直觉性。

五、参考文献

[1]https://baike.baidu.com/item/%E7%94%9F%E6%97%A5%E6%82%96%E8%AE%BA/2715290?fr=aladdin

六、附件

函数：

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function [P] = bir(h,it,x,y,z)
cnt = 0;
subplot(x,y,z);
hold on;
for k = 1 : it,
    A = round(rand(1,h)*365);
    A  = sort(A);
    plot(k,A,'black x');
    hold on;
    M = tabulate(A);
    X = [];
    [m,n] = size(M);
    for i = 1 : m,
        if M(i,2) >= 2,
        X = [X,M(i,1)];
        end
    end
    aa = size(X);
    if aa ~= 0
        plot(k,X,'red X');
        hold on;
    end
    if aa == 0
        cnt = cnt + 1;
    end
end
P = 1 - cnt / it;
title([num2str(h),'人，P=',num2str(P)]);
hold on;

主程序：

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2
3
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bir(10,200,2,2,1);
bir(30,200,2,2,2);
bir(60,200,2,2,3);
bir(90,200,2,2,4);

实验原图下载：
final